UNIVERSIDADTÉCNiCA DE AMBATO / INVESTIGACIÓN YDESARROLLO
''A3
=
'>AjCA2)('A3)
Cuando
se
consideran
todos
los
grados
de
libertad,
ala
matriz
°Afj
se
le
suele
denominar
T.
Así,
dado
un
robot
de
seis
grados
de
libertad,
se
tiene
que
la
posición
y
orientación
del
eslabón
fínal
vendrá
dada
por
la
matriz
T:
T=% =
''ATCA2}('A3)('A4)r<'s)(%)
Aunqueparadescubrir
la
relación
queexisteentredoselementoscontiguossepuedehacerusodecualquiersistemade
referencia
ligado
a
cada
elemento,
la
forma
habitual
que
se
suele
utilizar
en
robótica
es
la
representación
de
Denavlt-
Hartenberg.(4)
Algoritmo
de
Denavit-
Hartenberg
parala
obtención
del
modelo
Denavit-Hartenberg
propusieron
en
1955
un
método
matricial
que
permite
establecer
de
manera
sistemática
un
sistema
de
coordenadas
(Si)
ligado
a
cada
eslabón
i
de
una
cadena
articulada,
pudiéndose
determinar
a
continuación
las
ecua
ciones
cinemáticas
dela
cadena
completa.
Según
la
representación
D-H,
escogiendo
adecuadamente
los
sistemas
de
coordenadas
asociados
para
cada
eslabón,
será
posible
pasar
de
uno
al
siguiente
mediante
4
transformaciones
básicas
que
dependen
exclusivamente
de
las
ca
racterísticas
geométricas
del
eslabón.
Estas
transformaciones
básicas
consisten
en
una
sucesión
de
rotaciones
y
traslaciones
que
permitan
relacionar
el
sistema
de
referencia
del
elemento
i
con
el
sistema
del
elemento
i-1
Las
transformaciones
en
cuestión
son
las
siguientes:
Rotación
alrededor
del
eje
Zj.
j
un
ángulo
q¡.
Traslación
a
lo
largo
deZj.j
una
distancia
df
vector
di
(0,0,d¡).
Traslación
a
lo
largo
deX¡
una
distancia
ay
vector
ai
(0,0,aj).
Rotación
alrededor
del
eje
X¡,
un
ángulo
a¡.
Dado
que
el
producto
de
matrices
no
es
conmutativo,
las
transformaciones
se
han
de
realizar
en
el
orden
indicado.
De
este
modo
se
tiene
que:
'•'A
¡=
T(z,
qi)T(0,0,di)
T(ai,0,0)
T(x,ai)
Y
realizando
el
producto
de
matrices:
"Al
=
C0i - CajSOi
SaiSoi
aC0i
S0i CajCOi - SaiCOj aS0i
0
Sai
Cai
di
0 0 0 1
Donde
q¡,
a¡,
d¡,
a¡,
son
los
parámetros
D-H
del
eslabón
I.
De
este
modo,
basta
con
identifícar
los
parámetros
q^
op
dp
Op
para
obtener
matrices
Ay
relacionar
asi
todos
y
cada
uno
de
los
eslabones
del
robot.
Como
se
ha
indicado,
para
que
la
matriz''^
Ap
relacione
los
sistemas
(S¡)y
(Sj.
j),
es
necesario
que
los
sistemas
se
hayan
escogido
de
acuerdo
a
unas
determinadas
normas.
Estas,
junto
con
la
definición
de
los
4
parámetms
de
Denavit-Har
tenberg,
conforman
el
siguiente
algoritmo
para
la
resolución
del
problema
cinemático
directo:
DH1.
Numerar
los
eslabones
comenzando
con
1
(primer
eslabón
móvil
déla
cadena)
y
acabando
con
n
(último
eslabón
móvil).
Se
numerará
como
eslabón
Oala
base
fija
del
robot.
DH2.
Numerar
cada
articulación
comenzando
por
I
(la
correspondiente
al
primer
grado
de
libertad
y
acabando
en
n).
DH3.
Localizar
el
eje
de
cada
articulación.
Si
esta
es
mtativa,
el
eje
será
su
propio
eje
de
giro.
Si
es
prismática,
será
el
eje
alo
largo
del
cual
se
produce
el
desplazamiento.
DH4.
Para
ideOa
n-1,
situar
el
eje
Zi,
sobre
el
eje
dela
articulación
i+1
DH5.
Situar
el
origen
del
sistema
de
la
base
(SO)
en
cualquier
punto
del
eje
ZO.
Los
ejes
XO
e
YO
se
situaran
dé
modo
que
formen
un
sistema
dextrógiro
con
ZO.
DH6.
Para
ide
la
n-1,
situar
el
sistema
(Si)
(solidario
al
eslabón
i)enla
intersección
del
eje
Zi
con
la
linea
normal
wmún
aZi-1
y
Zi.
Si
ambos
ejes
se
cortasen
se
situaría
(Si)
en
el
punto
de
corte.
Si
fuesen
paralelos
(Si)
se
situaría
en
la
articulación
i+1.
DH7.
Situar
Xi
enla
línea
normal
común
a
Zi-T
yZi.
DHS.Situar
Ti
de
modo
que
forme
un
sistema
dextrógiro
con
XiyZi.
DH9.
Situar
el
sistema
(Sn)
en
el
extremo
del
mbot
de
modo
que
Zn
coincida
con
la
dirección
de
Zn-1
y
Xn
sea
normal
aZn-lyZn.
DH10.
Obtener
0i
como
el
ángulo
que
hay
que
girar
en
torno
a
Zi-1
para
que
Xi-1
y
Xi
queden
paralelos.
DH11.
Obtener
Di
como
la
distancia,
medida
a
lo
largo
deZi-1,
que
habría
que
desplazar
(Si-1)
para
queXiyXi-1
que
dasen alineados.
DH12.
Obtener
Ai
como
la
distancia
medida
a
lo
largo
de
Xi
(que
ahora
coincidiría
con
Xi-1)
que
habría
que
desplazar
el
nuevo
(Si-1)
para
que
su
origen
coincidiese
wn
(Si).
DH13.
Obtener
ai
como
el
ángulo
que
habría
que
girar
entorno
a
Xi
(que
ahora
coincidiría
con
Xi-1),
para
que
el
nuevo
(Si-1)
coincidiese
totalmente
con
(Si).
96
UNIVERSIDADTÉCNICA DE AMBATO / INVESTIGACIÓNY DESARROLLO
DH14.Obtenerlas matricesde transformación /-
lAi.
DH15.
Obtenerla
motriz
de
transformación
que
relaciona
el
sistema
dela
base
con
eldel
extremo
deimbot
T=OAi,
1A2...n-lAn.
DH16.
La
matriz
T
define
la
orientación
(submatriz
de
rotación)
y
posición
(submatriz
de
traslación)
del
extremo
re
ferido
a la base en
función
de las n coordenadasarticulares.
Parámetros
DH
paraun
eslabón
giratorio.
Los
cuatro
parámetros
de
DH
(qi,
di,
ai,
ai)
dependen
únicamente
de
las
características
geométricas
de
cada
eslabón
y
de
las
articulaciones
que
le
unen
con
el
anterior
y
siguiente
{fig:
If!)
Eje j-1 Eje i Eje
i+1
Elemento
i
Elemento
i-1
/-i^——
— — A
figífl
Ubicación
de
parámetros
D-H
q¡
Es
el
ángulo
que
forman
los
ejes
Xj.j
y
X¡
medido
en
un
plano
perpendicular
al
eje
Z¡,
p
utilizando
la
regla
de
la
mano
derecha.
Setratadeun
parámetro
variable
en
articulaciones
giratorias.
dj
Es
la
distancia
a
lo
largo
del
eje
Zj.^
desde
el
origen
del
sistema
de
coordenadas
(i-
l)-esimo
hasta
la
intersección
del
eje
Z¡.
j
con
el
eje
X¡.
Se
trata
de
un
parámetro
variable
en
articulaciones
prismáticas.
ai
Es
a
la
distancia
a
lo
largo
del
eje
X¡
que
va
desde
la
intersección
del
eje
Z¡.
j
con
el
eje
Xj
hasta
el
origen
del
sistema
i-esimo,
enel
caso
de
articulaciones
giratorias.
En
el
caso
de
articulaciones
prismáticas,
se
calcula
como
ta
distancia
mas
corta
entre
los
ejes
Zp
jy
Zj.
o¡
Es
el
ángulo
de
separación
del
eje
Zj.
jyel
eje
Z¡,
medido
en
un
plano
perpendicular
al
eje
Xj,
utilizando
la
regla
de
la mano derecha.
Una
vez
obtenidos
los
parámetros
DH,
el
cálculo
delas
relaciones
entre
los
eslabones
consecutivos
del
robot
es
inmediato,
ya
que
vienen
dadas
portas
matrices
A,
que
se
calcula
según
la
expresión
general.
Las
relaciones
entre
eslabones
no
consecutivos
vienen
dadas
porlas
matrices
T
que
se
obtienen
como
producto
deun
conjunto
de
matrices
A.
Obtenida
la
matriz
J,
ésta
expresará
la
orientación
(submatriz
(3x3)
de
rotación)
y
posición
(submatriz
(3x
1)
de
trasla
ción)
del
extremo
del
robot
en
función
de
sus
coordenadas
articulares,
con
lo
que
quedará
resuelto
el
problema
cinemático
dlrecto.(5)
T =
nx
ox
ax
Px
ny
oy
ay
Py
nz
oz
az
Pz
0 0 0 1
n o a p
0 0 0 1
Donde;
n, oya es
una
terna
que
representa
la
orientación
ypes
un
vector
que
representa
la
posición.
DESARROLLO
Partiendo
de
las
especificaciones
entregadas
por
el
fabricante
del
robot
MOTOMAN
de
seis
grados
de
libertad,
las
cuales
vienen
dadas
en
forma
gráfica
yse
observan
a
continuación
enla
fig.
#2,
donde
se
pueden
encontrar
las
di
mensiones
necesarias.
97
OTÉCNÍO,
UNIVERSIDADTÉCNICA DE AMBATO/ INVESTIGACIÓNY DESARROLLO
•«»75;
disTTtma
Y2<-
TTTfiTVfir
I
hkiA
-
llilmm
5ütlmm
Hlüílmm
•-
iminm
Fig.#2
Robot
manipulador
MOTOMAN
de
seis
grados
de
libertad
Una
vez
identificadas
las
dimensiones,
se
ubican
losejesy
sistemas
de
coordenadas
de
acuerdo
a
las
reglas
del
algoritmo
de
Denavit
Har
ten
berg,
esto
se
puede
observar
en
la
figura
#3.
dts
loe
CBCB
Flg.#3
Ubicación
de
sistemas
de
coordenadas
para
el
robot
MOTOMAN
En
la
figura
#3se
observan
las
dimensiones
del
robot,
los
sistemas
de
coordenadas,
la
numeración
de
cada
eslabón
{en
verde),
ylanu
meración
de
cada
articulación
que
coincide
con
la
numeración
de
los
ángulos.
Para
facilitar
el
análisis,
se
realiza
una
gráfica
con
los
sistemas
de
co
ordenadas
únicamente,
esto
seveenla
figura
#4.
•3»800wiil .
Y3X4
XS
24
y"
ys
-»X3
A—^
'
JS=ioo
m
Z3Y4
i6,
rX5
Fig.#4
Ubicación de sistemas de coordenadas
a6=
mm
y6
d1«773aiM
Los
parámetros
DH
son
los
siguientes:
Tabla# /
Parámetros
DH
del
Robot
MOTOMAN
de
seis
articulaciones,
los
ángulos
se
encuentran
en
grados,
mientras
quelas
dimensiones
se
encuentran
en milímetros.
Articulación
6a a
01 :
77^
0 90
02
0 i
757
0
03
01
900
0
4
04
0090
5
05
100
0 90
6
86
0
-50
0
98
Las
matrices
de
paso
son:
Para i = 1:
%=
COS0J
0
sm0j
0
sinQj 0
-COS0J
0
010
773
000 1
UNIVERSIDAD
TÉCNICA
DE
AMBATO
/
INVESTIGACIÓN
Y
DESARROLLO
Para i
=2
Para i - 4
cosds
sínd^
o
o
eos
^3
siiié'^
O
o
sim^
cosdj
o
o
o
0
1
o
sin
6^
-eos
^5
O
O
757COSQ2
757sim^
0
1
Para i= 3
•i,=
Para í = 5
cos(61,)
O
sin(e^)
O
sin(^4+90)
O
-eosítíi^
+
OO)
O
0
10
0
0 0 0 1
Para i= 6
o
0
100
1
^^5
=
cose^ 0
sine^
0
sinQg
0-cosBg 0
010
100
0001
Para
obtener
la
matriz
T
debemos
multiplicar
todas
las
matrices
de
paso,
de
acuerdo
a
la
siguiente
ecuación:
Para
resolver
esta
ecuación
se
puede
recurrir
a
algún
programa
como
MatLab
donde
se
pueden
realizar
las
multi
plicaciones
de
las
matrices
por
medio
de
operaciones
generales
de
MatLab,
o
si
se
desea
se
pueden
utilizar
herra
mientas
especiales
que
MatLab
tiene
para
robótica
y
que
se
las
puede
bajar
de
Internet.
También
es
factible
utilizar
Excel,
en
este
trabajo
por
facilidad,
se
prefirió
utilizarlo.
Mediante
ecuaciones
se
imple-
mentaron
las
fórmulas
necesarias
y
con
la
instrucción
MMULT
se
realizó
la
multiplicación
de
las
matrices.
Se
dejó
los
parámetros
DH
como
valores
que
se
los
puede
cambiar
para
probar
diferentes
posiciones.
Para
comprobar
la
validez
del
trabajo
realizado,
se
hicieron
varias
pruebas,
presentando
a
continuación
por
su
faci
lidad
de
entender,
la
prueba
que
resulta
al
colocar
el
robot
completamente
estirado,
obteniéndose
el
resultado
es
perado.
Los
valores
que
el
robot
requiere
para
estar
completamente
estirado
son:
Angulo
1
2
3
4
5
6
Valor
en
grados
O
90
90
O
O
o
Y
se
obtiene
el
siguiente
resultado
para
la
matrizT:
-100
51
0 0 1 1
0
10
2.530
0 0 0 1
Donde
la
matriz
3x3
nos
dala
orientación,
mientras
que
la
posición
es:
px =
py =
pz =
51 mm
1
mm
2530 mm
Losvalores reales deberían ser:
px= 50mm
py
= O
mm
p2=
2530
mm
Como
se
puede
observar
la
diferencia
es
mínima
yes
justificable
pues
los
valores
de
los
ángulos
en
Excel
se
trabajan
en
radianes,
y
para
90
grados
seaproximó
a
1,57
radianes.
CONCLUSIONES
El
modelado
cinemático
de
un
robot
manipulador
permite
la
solución
del
problema
cinemático
directo
el
cual
es
una
herramienta
muy
útil
al
momento
de
posicionar
el
efector
final
del
robot
para
que
este
pueda
realizar
tareas
de
gran
precisión.
Para
resolver
el
problema
cinemático
directo,
es
necesaria
una
identificación
de
las
dimensiones
del
robot
O
-50cos(Bg)
0socosíSg)
1 o
o 1
UNIVERSIDAD
TÉCNICA
DE
AMBATO
/
INVESTIGACIÓN
Y
DESARROLLO
cinemático
directo,
basta
tan
solo
conocer
cuatro
parámetros
de
cada
articulación.
Es
necesario
seguir
reglas
especificadas
en
el
algoritmo
de
Denavit
hartenberg
en
especial
ai
colocar
los
sistemas
de
coordenadas
para
conseguir
una
solución
sin
errores.
Una
vez
resuelto
el
modelo
matemático,
se
lo
puede
programar
en
el
controlador
del
robot,
para
que
éste
pueda
conocer
la
posición
exacta
de
su
efector
final,
para
esto
se
debe
ayudar
de
sus
sensores
propioceptivos.
REFERENCIAS
http://es.wll(ipedia.ora/wiki/Cinem%C3%A1tica
http://Droton.uctinQ.udQ.mx/robotlca/r166/r91/r91.htm
http://Droton.uctinQ.udo.mx/robotica/r166/r79/r79.htm
http://proton.üctinQ.udq.mx/robotlca/r166/r80/r80.htm
http://148.207-12.20/~cin/robotic/tarease/dh/dh.htm
http://www.aurova.ua.es/robolab/EJ$4/PRR
Suficiencia
Intro
2.htmi
http://www.voutube.com/watch?v=nJpr1h-Ysbs
http://DrQton
.iic
tinQ.udQ.mx/robotica/r166/r81
/r81
.htm
http://www.anaelfire.com/extreme/Qrevnosom/archivos/rinematica
Robot.odf
BIBLIOGRAFÍA
ANTONIO
BARRiENTOS,
LUIS
FELIPE
PEÑIN,
CARLOS
BARRAGUER,
RAFAEL
ARACIL.(2007}
Fundamentos
de
robótica,
Madrid;
McGraw-Hill,
segunda
edición.
ISBN:
978-84-481-5636-7
FERNANDO
TORRES,
JORGE
POMARES,
PABLO
GIL,
SANTIAGO
PUENTE,
RAFAEL
ARACiL.(2002}
Robots
y
sistemas
sensoriales,
Madrid:
Prentice
Hall,
segunda
edición.
ISBN:
84-205-3574-5
J0HNJ.CRAIG(2006)
Robótica,
Madrid:
Prentice
Hall,
tercera
edición.
ISBN:
970-26-0772-8
ANIBAL
OLLERO
BATURE
(2001)
Robótica,
Manipuiadores
y
robots
móviles,
Barcelona:
Alfaomega-Marcombo.
ISBN:
84-267-1313-0
(JVAIUKN
inn
&
